Чатырохкутнік

Чатыро́хку́тнік (чатырохвугольнік) — гэта плоская фігура, якая складаецца з чатырох пунктаў (вяршыняў) і чатырох адцінкаў (бакоў), што пасьлядоўна іх злучаюць. Пры гэтым ніводныя тры з дадзеных пунктаў ня мусяць ляжаць на адной простай лініі, а адцінкі, якія іх злучаюць, ня мусяць перасякацца.

Інакш кажучы, чатырохкутнік — гэта шматкутнік, які мае чатыры вяршыні і чатыры бакі.

Малюнак 1

Вяршыні чатырохкутніка называюцца суседнімі, калі яны зьяўляюцца канцамі аднаго зь яго бакоў, несуседнія вяршыні называюцца супрацьлеглымі. Адцінкі, якія злучаюць супрацьлеглыя вяршыні чатырохкутніка, называюцца дыяганалямі. На малюнку 1 адцінкі AC і BD — дыяганалі чатырохкутніка ABCD.

Бакі чатырохкутніка, якія выходзяць з адной вяршыні, называюцца суседнімі бакамі. Бакі, якія ня маюць агульнага канца, называюцца супрацьлеглымі бакамі. У чатырохкутніку на дадзеным малюнку супрацьлеглымі бакамі зьяўляюцца бакі AB і CD, BC і AD.

Чатырохкутнік пазначаюць запісам яго вяршыняў. Напрыклад, чатырохкутнік на малюнку 1 пазначаны наступным чынам: ABCD. Пры пазначэньні чатырохкутніка вяршыні, што стаяць побач, павінныя быць суседнімі. Чатырохкутнік ABCD можна таксама пазначыць BCDA або DCBA. Але нельга пазначыць ABDC (B і D — не суседнія вяршыні).

Уласьцівасьці

• Сума кутоў чатырохкутніка роўная

$2\pi =360^{\circ }$.

• Чатырохкутнік можна ўмежыць у акружыну толькі тады, калі сума супрацьлеглых кутоў роўная 180°

$\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$.

• Чатырохкутнік зьяўляецца абмежным каля акружыны толькі тады, калі сумы даўжынь супрацьлеглых бакоў роўныя

$\ AB+CD=BC+AD$

Плошча

Плошча адвольнага пукатага чатырохкутніка роўная палове памнажэньня дыяганаляў на сынус кута паміж імі:

$S={\frac {1}{2}}d_{1}\cdot d_{2}sin\beta$

• дзе $d_{1},d_{2}$ — дыяганалі чатырохкутніка, а $\beta$ — кут паміж імі.

Пэрымэтар

Пэрымэтар чатырохкутніка роўны суме яго бакоў

$\ S_{ABCD}=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|$

• дзе $|AB|+|BC|+|CD|+|DA|$ — бакі чатырохкутніка

Віды чатырохкутнікаў

Існуюць пукатыя і непукатыя чатырохкутнікі

Малюнак 2

Чатырохкутнік зьяўляецца пукатым, калі для кожнага зь яго бакоў ён разьмешчаны па адзін бок ад простай, праведзенай праз гэты бок.

ABCD — пукаты чатырохкутнік (глядзіце малюнак 2), A₁B₁C₁D₁ — непукаты

Таксама вылучаюць:

1. Паралелаграм — чатырохкутнік, у якога супрацьлеглыя бакі парамі раўналежныя
   • Прастакутнік — паралелаграм, у якога ўсе куты простыя
   • Ромб — паралелаграм, у якога ўсе бакі роўныя
   • Квадрат — прастакутнік, у якога ўсе бакі роўныя
2. Трапэцыя — чатырохкутнік, у якога два бакі раўналежныя, а два іншыя бакі не раўналежныя
3. Дэльтоід — чатырохкутнік, у якога дзьве пары сумежных бакоў роўныя